Question

在△ABC中,sinA=(sinB+sinC)/(cosB+cosC),则△ABC是什么三角形（详细过程）可不可以用和差化积以外的方法

Answer 1

sinA=(sinB+sinC)/(cosB+cosC)
sin(B+C)=(sinB+sinC)/(cosB+cosC)
sinBcosC+cosBsinC=(sinB+sinC)/(cosB+cosC)
sinBcosBcosC+sinB(cosC)^2+(cosB)^2sinC+cosBsinCcosC=sinB+sinC
sinBcosBcosC+cosBsinCcosC=sinB-sinB(cosC)^2+sinC-(cosB)^2sinC
sinBcosBcosC+cosBsinCcosC=sinB(sinC)^2+(sinB)^2sinC
cosBcosC(sinB+sinC)=sinBsinC(sinB+sinC)
(cosBcosC-sinBsinC)(sinB+sinC)=0
cos(B+C)(sinB+sinC)=0
sinB+sinC≠0
所以cos(B+C)=0
B+C=90度，直角三角形

【1】
由正弦定理可得：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
∴sinA=a/2R, sinB=b/2R sinC=c/2R
把这些结果代入条件等式，整理可得：
a=(b+c)/(cosB+cosC)
b+c=a(cosB+cosC)
∴2bc(b+c)=b(2accosB)+c(2abcosC)
【2】
由余弦定理可得：
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac). cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
∴2accosB=(a²+c²-b²) 2abcosC=(a²+b²-c²)
∴把这些结果代入上式，可得：
2bc(b+c)=b(a²+c²-b²)+c(a²+b²-c²)
2bc(b+c)=(b+c)a²+bc(b+c)-(b+c)(b²-bc+c²)
2bc=a²+bc-b²+bc-c²
b²+c²=a²
∴该三角形为直角三角形。