Question

设函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，是否存在这样的实数a，使得不等式f（1-ax-x 2 ）＜f（2-a

设函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，是否存在这样的实数a，使得不等式f（1-ax-x 2 ）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立？若存在，试求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解法一：由条件得1-ax-x 2 ＜2-a对于x∈[0，1]恒成立 令g（x）=x 2 +ax-a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可． g（x）=x 2 +ax-a+1=（x+ a 2 ） 2 - a 2 4 -a+1． ①当- a 2 ＜0，即a＞0时，g（x） min =g（0）=1-a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1； ②当0≤- a 2 ≤1，即-2≤a≤0时，g（x） min =g（- a 2 ）=- a 2 4 -a+1＞0，∴-2-2 2 ＜a＜-2+2 2 ，故-2≤a≤0； ③当- a 2 ＞1，即a＜-2时，g（x） min =g（1）=2＞0，满足，故a＜-2． 故存在实数a，使得不等式f（1-ax-x 2 ）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立，其取值范围是（-∞，1）． 解法二：由1-ax-x 2 ＜2-a得（1-x）a＜x 2 +1， ∵x∈[0，1]，∴1-x≥0， ∴①当x=1时，0＜2恒成立，此时a∈R； ②当x∈[0，1）时，a＜ x 2 +1 1-x 恒成立． 求当x∈[0，1）时，函数y= x 2 +1 1-x 的最小值． 令t=1-x（t∈（0，1]），则y= x 2 +1 1-x = (1-t ) 2 +1 t =t+ 2 t -2， 而函数y=t+ 2 t -2是（0，1]上的减函数，所以当且仅当t=1，即x=0时，y min =1． 故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1， 由①②得a＜1． 故存在实数a，使得不等式f（1-ax-x 2 ）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立，其取值范围是（-∞，1）．