Question

如图，已知抛物线y=x 2 +bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x

如图，已知抛物线y=x 2 +bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D。（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式； （3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限。①当线段PQ= AB时，求tan∠CED的值；②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标。温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答。

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Answer 1

解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴ ∴b=-2， ∵抛物线与y轴交于点C（0，-3）， ∴c=-3， ∴抛物线的函数表达式为y=x 2 -2x-3；
（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点， 当y=0时，x 2 -2x-3=0， ∴x 1 =-1，x 2 =3， ∵A点在B点左侧， ∴A（-1，0），B（3，0） 设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m， 则 ， ∴ ∴直线BC的函数表达式为y=x-3；
（3）①∵AB=4，PO= AB， ∴PO=3 ∵PO⊥y轴 ∴PO∥x轴，则由抛物线的对称性可得点P的横坐标为 ， ∴P（ ， ） ∴F（0， ）， ∴FC=3-OF=3- ， ∵PO垂直平分CE于点F， ∴CE=2FC= ， ∵点D在直线BC上， ∴当x=1时，y=-2， 则D（1，-2）过点D作DG⊥CE于点G， ∴DG=1，CG=1， ∴GE=CE-CG= -1= ， 在Rt△EGD中，tan∠CED= ， ②P 1 （1- ，-2），P 2 （1- ， ）。