Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，∠AFC=30°。（1）求证：CF为⊙O的切线；

如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，∠AFC=30°。（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）若半径ON⊥AD于点M，CE= ，求图中阴影部分的面积。

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Answer 1

解：（1）连结OC、BC， ∵CD垂直平分OB， ∴OC=BC ∵OB=OC， ∴OB=OC=BC ∴△OCB是等边三角形 ∴∠BOC=60° ∵∠CFO=30°， ∴∠OCE=90° ∴OC⊥CF ∵OC是⊙O的半径， ∴CF是⊙O的切线；
（2）连结OD， 由（1）可得∠COF=60°，由圆的轴对称性可得∠EOD=60°， ∴∠DOA=120° ∵OM⊥AD，OA=OD， ∴∠DOM=60° 在Rt△COE中CE= ，∠ECO=30°，cos∠ECO= ， ∴OC=2 ∴S 扇形OND = π， ∴S △OMD = ∴S 阴影 =S 扇形OND -S △OMD = 。