Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =1，S n+1 =4a n +2，(Ⅰ)设b n =a n+1 -2a n ，证明数列{b n }是

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =1，S n+1 =4a n +2，(Ⅰ)设b n =a n+1 -2a n ，证明数列{b n }是等比数列；(Ⅱ)求数列{a n }的通项公式。

Answer 1

(Ⅰ)证明：由已知有a 1 +a 2 =4a 1 +2，解得a 2 =3a 1 +2=5， 故b 1 =a 2 -2a 1 =3， 又a n+2 =S n+2 -S n+1 =4a n+1 +2-(4a n +2)=4a n+1 -4a n ，  于是a n+2 -2a n+1 =2（a n+1 -2a n ），即b n+1 =2b n ， 因此数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知等比数列{b n }中b 1 =3，公比q=2， 所以a n+1 -2a n =3×2 n-1 ，于是 ， 因此数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， ， 所以 。