Question

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且 ．（1）求证：直

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且 ．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5， ，求BC和BF的长．

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Answer 1

（1）见解析；（2）BC=2 ，BF=

1）由已知条件 可判定直线BF与⊙O相切 （2）在Rt△ANB中，利用边角关系求出BE的长，进而求出BC所以△AGC∽△FBA，利用对应边的比值相等求出PC，在利用勾股定理求出AE，则可求出． 证明：（1）证明：连结AE． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°． ∴∠1=∠2=90°． ∵AB=AC ∴∠1= ∠CAB． ∴∠CBF= ∠CAB， ∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90°． 即∠ABF=90° ∵AB是⊙O的直径， ∴直线BF是⊙O的切线． （2）解：过点C作CG⊥AB于点G． ∵sin∠CBF= ，∠1=∠CBF， ∴sin∠1= ∵∠AEB=90°，AB=5， ∴BE=AB·sin∠1= ∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴BC=2BE=2 在Rt△ABE中，由勾股定理AE= =2 ∴sin∠2= ，cos∠2= ． 在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2， ∴AG=3． ∵GC∥BF ∴△AGC∽△ABF． ∴BF=