Question

已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A、C，上顶点为B，O为原点，P为椭圆上任意一点，过F、B、C三点的圆

已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A、C，上顶点为B，O为原点，P为椭圆上任意一点，过F、B、C三点的圆的圆心坐标为（m，n）．（1）当m+n≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；（2）在（1）的条件下，椭圆的离心率最小时，若点D（b+1，0），(PF+OD)?PO的最小值为72，求椭圆的方程．

Answer 1

（1）由题意可得B（0，b），C（a，0），F（-c，0）．
设过F、B、C三点的圆的方程为x²+y²+ux+vy+s=0，
可得

b2+vb+s＝0 a2+ua+s＝0 c2?uc+s＝0

，解得u=c-a，v=

ac?b2

b

，s=-ac．
∴m＝?

u

2

=

a?c

2

，n＝?

v

2

=

b2?ac

2b

，
∵m+n≤0，∴

a?c

2

+

b2?ac

2b

≤0，化为a²≤2c²，
∴e≥

2

2

，
又e＜1．∴

2

2

≤e＜1，
∴椭圆的离心率的取值范围是[

2

2

，1)．
（2）在（1）的条件下，椭圆的离心率最小时