Question

已知数列{an}，{bn}，满足a1=2，2an=1+an?an+1，bn=an-1（bn≠0）．（Ⅰ）求证数列{1bn}是等差数列，并求

已知数列{an}，{bn}，满足a1=2，2an=1+an?an+1，bn=an-1（bn≠0）．（Ⅰ）求证数列{1bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令cn=bnbn+1，求数列{cn}的前n项和Sn．

Answer 1

（Ⅰ）∵b_n=a_n-1∴a_n=b_n+1，
又∵2a_n=1+a_n?a_n+1，
∴2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
化简得：b_n-b_n+1=b_nb_n+1，
∵b_n≠0，∴

1

bn+1

-

1

bn

=1（n∈N^*），
又

1

b1

=

1

a1?1

=

1

2?1

=1，
∴数列{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

1

bn

=1+（n-1）×1=n，∴b_n=

1

n

，
∴a_n=

1

n

+1=

n+1

n

；
（Ⅱ）由题意得c_n=b_nb_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．