Question

初三二次函数知识点总结

二次函数学的好蒙 ， 请专业人士帮忙总结一下 初三二次函数的中考知识点。 比如二次函数的图像 ，a，b，c 的不同 ，而图像有何不同 ，有何变化 。 还有很多....  我都蒙了 。 请专业人士为了祖国未来的花朵，  奉献一点爱心啊 ，

Answer 1

二次函数知识点汇总

• 二次函数概念：
  二次函数的概念：一般地，形如ax^2+bx+c= 0的函数，叫做二次函数。
  这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数。

• 02

  二次函数图像与性质口诀：
  二次函数抛物线，图象对称是关键;
  开口、顶点和交点，它们确定图象限;
  开口、大小由a断，c与Y轴来相见，b的符号较特别，符号与a相关联;顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

  

• 03

  最值的求法：
  如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=- b/2a时，取得最值y=（4ac-b²）/4a。
  如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看-b/2a是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当x=-b/2a时，取得最值y=（4ac-b²）/4a，若不在此范围，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，取得最大值y=a x2²+bx2+c，当x=x1时，取得最小值y=ax1²+bx1+c。

• 04

  平移规律：在原有函数的基础上h值正右移，负左移：k值正上移，负下移。
  函数平移大致位置规律：同左上加，异右下减。（特别记忆方法）

• 05

  接下来说明一下这个记忆方法的意思:
  1.函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧（同左），ab值异号，图像顶点必在y轴右侧（异右）
  2.向左向上移动为加（左上加），向右向下移动为减（右下减）。

• 06

  将抛物线解析式转化为顶点式y=a（x-h）²+k，确定其顶点坐标（h，k）。
  保持抛物线y=a x²的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下。

  

Answer 2

鄂、。。貌似图像啥的发不出来撒、。。要是亲很想要的话在找我要把、。。嘻嘻、。。

二次函数知识点总结
二次函数知识点：
1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：的性质：

结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
总结：

的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

2. 的性质：

结论：上加下减。
总结：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

3. 的性质：

结论：左加右减。
总结：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

4. 的性质：

总结：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．

三、二次函数与的比较
请将利用配方的形式配成顶点式。请将配成。

总结：
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．

四、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

五、二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
总结：
3. 常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

二、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4. 关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
5. 关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
② 当时，图象与轴只有一个交点；
③ 当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

抛物线与轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

图像参考：

Answer 3

一、内容综述：

　　四种常见函数的图象和性质总结 　 图象
特殊点
性质

一

次

函

数

　　与x轴交点

　　与y轴交点（0，b）
　　(1)当k>0时，y随x的增大而增大；

　　(2)当k<0时，y随x的增大而减小.

正

比

例

函

数

　　与x、y轴交点是原点(0,0)。　　　　　　　　　　　　　
　　(1)当k>0时，y随x的增大而增大，且直线经过第一、三象限；

　　(2)当k<0时，y随x的增大而减小，且直线经过第二、四象限

反

比

例

函

数
　
　　与坐标轴没有交点，但与坐标轴无限靠近。
　　(1)当k>0时，双曲线经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；

　　(2) 当k<0时，双曲线经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

二

次

函

数

　　与x轴交点或，其中是方程的解，与y轴交点，顶点坐标是 (-,)。
　　(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；对称轴是直线x=-, y最小值=。

　　(2)当 a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；对称轴是直线x=-, y最大值=

　　注意事项总结：

　　1．关于点的坐标的求法：

　　方法有两种，一种是直接利用定义，结合几何直观图形，先求出有关垂线段的长，再根据该点的位置，明确其纵、横坐标的符号，并注意线段与坐标的转化，线段转换为坐标看象限加符号，坐标转换为线段加绝对值；另一种是根据该点纵、横坐标满足的条件确定，例如直线y=2x和y=-x-3的交点坐标，只需解方程组就可以了。

　　2．对解析式中常数的认识：

　　一次函数y=kx+b (k≠0)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)及其它形式、反比例函数y=(k≠0),不同常数对图像位置的影响各不相同，它们所起的作用，一般是按其正、零、负三种情况来考虑的，一定要建立起图像位置和常数的对应关系。

　　3．对于二次函数解析式，除了掌握一般式即：y=ax2+bx+c((a≠0)之外，还应掌握“顶点式”y=a(x-h)2+　k及“两根式”y=a(x-x1)(x-x2)，（其中x1,x2即为图象与x轴两个交点的横坐标）。当已知图象过任意三点时，可设“一般式”求解；当已知顶点坐标，又过另一点，可设“顶点式”求解；已知抛物线与x轴交点坐标时，可设“两根式”求解。总之，在确定二次函数解析式时，要认真审题，分析条件，恰当选择方法，以便运算简便。

　　4．二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系：图象开口方向相同，大小、形状相同，只是位置不同。y=a(x-h)2+k图象可通过y=ax2平行移动得到。当h>0时，向右平行移动|h|个单位；h<0向左平行移动|h|个单位；k>0向上移动|k|个单位；k<0向下移动|k|个单位；也可以看顶点的坐标的移动, 顶点从（0，0）移到（h,k)，由此容易确定平移的方向和单位。

　　二、例题分析：

　　例1．已知P(m, n)是一次函数y=-x+1图象上的一点，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴两个交点的横坐标的平方和为1，问点N(m+1, n-1)是否在函数y=-图象上。

　　分析：P(m, n)是图象上一点，说明P(m, n)适合关系式y=-x+1，代入则可得到关于m,n的一个关系，二次函数y=x2+mx+n与x轴两个交点的横坐标是方程x2+mx+n=0的两个根，则x1+x2=-m, x1x2=n, 由平方和为1即x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1，又可得到关于m, n的一个关系，两个关系联立成方程组，可解出m, n，这种利用构造方程求函数系数的思想最为常见。

　　解：∵P(m,n)在一次函数y=-x+1的图象上，

　　∴ n=-m+1, ∴ m+n=1.

　　设二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,

　　∴x12+x22=1,

　　又∵x1+x2=-m, x1x2=n,

　　∴ (x1+x2)2-2x1x2=1, 即m2-2n=1

　由解这个方程组得：或。

　　把m=-3, n=4代入x2+mx+n=0,

　　x2-3x+4=0, Δ<0.

　　∴ m=-3, n=4(舍去).

　　把m=1, n=0代入x2+mx+n=0,

　　x2+x=0, Δ>0

　　∴点N（2，-1），

　　把点N代入y=-,当x=2时，y=-3≠-1.

　　∴点N（2，-1）不在图象y=-上。

　　说明：这是一道综合题，包括二次函数与一次函数和反比例函数，而且需要用到代数式的恒等变形，与一元二次方程的根与系数关系结合，求出m、n值后，需检验判别式，看是否与x轴有两个交点。当m=-3, n=4时，Δ<0，所以二次函数与x轴无交点，与已知不符，应在解题过程中舍去。是否在y=-图象上，还需把点（2，-1）代入y=-，满足此函数解析式，点在图象上，否则点不在图象上。

　　例2．直线 y=-x与双曲线y=-的两个交点都在抛物线y=ax2+bx+c上，若抛物线顶点到y轴的距离为2，求此抛物线的解析式。

　　分析：两函数图象交点的求法就是将两函数的解析式联立成方程组，方程组的解既为交点坐标。

　　解：∵直线y=-x与双曲线y=-的交点都在抛物线y=ax2+bx+c上，

　　由　　解这个方程组，得x=±1.

　　∴当x=1时，y=-1.

　　当x=-1时，y=1.

　　经检验：，都是原方程的解。

　　设两交点为A、B，∴A（1，-1），B（-1，1）。

　　又∵抛物线顶点到y轴的距离为2，∴ 抛物线的对称轴为直线x=2或x=-2，

　　当对称轴为直线x=2时，

　　设所求的抛物线解析式为y=a(x-2)2+k，又∵过A（1，-1），B（-1，1），

　　∴　解方程组得

　　∴ 抛物线的解析式为y=(x-2)2-

　　即 y=x2-x-.

　　当对称轴为直线x=-2时，设所求抛物线解析式为y=a(x+2)2+k,

　　则有　解方程组得，

　　∴ 抛物线解析式为y=-(x+2)2+

　　y=-x2-x+.

　　∴所求抛物线解析式为：y=x2-x-或y=-x2-x+。

　　说明：在求直线和双曲线的交点时，需列出方程组，通过解方程组求出x, y值，双曲线的解析式为分式方程，所以所求x, y值需检验。抛物线顶点到y轴距离为2，所以对称轴可在y轴左侧或右侧，所以要分类讨论，求出抛物线的两个解析式。

　　例3、已知∠MAN=30°，在AM上有一动点B，作BC⊥AN于C，设BC的长度为x，△ABC的面积为y，试求y与x之间的函数关系式。

　　分析：求两个变量y与x之间的函数关系式，就是想办法用x表示y,，BC=x,则想办法先用含x的代数式表示AC。

　　解：如图

　　在Rt△ABC中，

　　∵∠A=30°，∠BCA=90° BC=x，

　　∴AC=BC=x

　　∴

　　说明：在含有30°、45°、60°的直角三角形中，应注意利用边之间的特殊倍数关系（如AC=BC）。

　　例4、如图，锐角三角形ABC的边长BC＝6，面积为12，P在AB上，Q在AC上，且PQ∥BC，正方形PQRS的边长为x，正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积为y。
　　（1）当SR恰落在BC上时，求x，
　　（2）当SR在△ABC外部时，求y与x间的函数关系式；
　　（3）求y的最大值。

　　略解：（1）由已知，△ABC的高AD=4。

　　∵△APQ∽△ABC，（如图一）

　　设AD与PQ交于点E　∴

　　∴

　　∴

　　(2)当SR在△ABC的外部时， 同样有，

　　则，即AE=

　　∴y=ED·PQ＝x（4-）=-2+4x（）

　　（3）∵a=-<0,y=-其中,

　　∴当x=3时,y取得最大值6.

　　说明:此例将线段PQ的长设为x,正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积设为y,寻找它们之间的函数关系.注意自变量的取值范围;在y取最大值时,要注意顶点(3,6)的横坐标是否在取值范围内.

　　例5．（ 潍坊市中考题）某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管（如图一）作成的立柱。为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图二所示的坐标系进行计算。
　　（1）求该抛物线的解析式； 　　（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度。

　　

　　分析：图中给出了一些数量，并已经过护栏中心建立了平面直角坐标系， 所以求二次函数的解析式关键是找到一些条件建立方程组。因为对称轴是 y轴，所以b=0,可以设二次函数为y=ax2+c.

　　解：（1）在如图所示坐标中，设函数解析式为y=ax2+c,B点坐标为（0,0.5），C点坐标为（1，0）。

　　分别代入y=ax2+c得：

　　，解得

　　抛物线的解析式为：y=-0.5x2+0.5

　　（2）分别过AC的五等分点，C1，C2，C3，C4，作x轴的垂线，交抛物线于B1，B2，B3，B4，则C1B1，C2B2，C3B3，C4B4的长就是一段护栏内的四条立柱的长，点C3，C4的坐标为（0.2，0）、(0.6,0)，则B3，B4点的横坐标分别为x3=0.2,x4=0.6.
　　将x3=0.2和x4=0.6分别代入

　　y=-0.5x2+0.5得y3=0.48,y4=0.32

　　由对称性得知，B1，B2点的纵坐标：y1=0.32,y2=0.48

　　四条立柱的长为：C1B1=C4B4=0.32（m）

　　C2B2=C3B3=0.48（m）

　　所需不锈钢立柱的总长为

　　(0.32+0.48)×2×50=80(m)。

　　答：所需不锈钢立柱的总长为80m。

Answer 4

我就讲一点关键的东西吧。
a决定二次函数的开口方向和开口大小，且a大于0，开口向上，否则反之，a越大开口越小
b决定二次函数的位置和对称轴，当-2a/b小于0，对称轴在x轴左侧，否则反之。在此基础上，可以推出（1）当b=0时，抛物线顶点在x轴上（2）当抛物线在x轴左侧，b的符号与a的符号相同，同正或同负，在右侧a,b符号相反
c决定抛物线与x轴交点（0，c），当c=0，抛物线经过原点，当b,c都=0，抛物线顶点坐标为原点，其他的抛物线增减性画图观察即可，不必死记

抛物线平移化为顶点式y=a(x-h)²+k，上加下减（k），左加右减（h）
△决定与x轴交点个数，△大于0，抛物线与x轴2个不同的交点△=0，1个交点；△小于0，无交点