Question

三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是A1B1，AC1的中点．（1）求证

三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是A1B1，AC1的中点．（1）求证：MN⊥平面ABC1；（2）求三棱锥M-ABC1的体积．

Answer 1

（1）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，
∴四边形BCC₁B₁是正方形．
∴BC₁⊥B₁C．∴MN⊥BC₁．
连接AM，C₁M，△A₁MA≌△B₁MC₁．
∴AM=C₁M，又N是AC₁的中点，∴MN⊥AC₁．
∵BC₁与AC₁相交于点C₁，
∴MN⊥平面ABC₁．
（2）解：由（1）知MN是三棱锥M-ABC₁的高．
在直角△MNC中，MC₁=

5

，AC₁=2

3

，∴MN=

2

．
又S△ABC1=2

2

．
∴VM?ABC1=

1

3

?MN?S△ABC1=

4

3

．