Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-7xx2+x+1．（1）求当x＜0时f（x）的解析式；（2

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-7xx2+x+1．（1）求当x＜0时f（x）的解析式；（2）试确定函数f（x）（x≥0）的单调区间，并证明你的结论；（3）若x1≥2，x2≥2且x1≠x2，证明：|f（x1）-f（x2）|＜2．

Answer 1

（1）若x＜0，则-x＞0，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=

7x

x2?x+1

（x＜0）（3分）
（2）当x≥0时，f'（x）=

7(x+1)(x?1)

(x2+x+1)2

．（6分）
显然当0＜x＜1时，f'（x）＜0；
当x＞1时，f'（x）＞0，又f（x）在x=0和x=1处连续，
∴函数f（x）在[0，1]上为减函数，在[1，+∞）上为增函数．（8分）
（3）证明：∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，且f（x）＜0，
∴当x≥2时，有0＞f（x）≥f（2）=-2．（10分）
又当x₁，x₂≥2时，得-2≤f（x₁）＜0且-2≤f（x₂）＜0，即0＜-f（x₂）≤2
∴-2＜f（x₁）-f（x₂）＜2即得：|f（x₁）-f（x₂）|＜2．（12分）