Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC=∠BDE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接OC交BE于点F，若CEAE＝23，求OFCF的值．

Answer 1

解答：解：（1）证明：连接OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE+∠BEC=90°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BED=90°，
∴∠DBE+∠BDE=90°，
∴∠CBE=∠DBE，
∴∠CBE=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠ACB=90°，
即OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；

（2）∵OE∥BC，∴△AOE∽△ACB，
∴

OE

BC

＝

AE

AC

，
∵

CE

AE

＝

2

3

，
∴

AE

AC

＝

3

5

，
∴

OE

BC

＝

3

5

，
∵OE∥BC，
∴△OEF∽△CBF，
∴

OF

CF

＝

OE

BC

＝

3

5

．