Question

设a,b,c为正数，且abc=1，求证:

设a,b,c为正数，且abc=1，求证: 1/(2+a)+1/(2+b)+1/(2+c)<=1.

Answer 1

证明
设x,y,z为正数，根据abc=1，令a=yz/x^2,
b=zx/y^2,
c=xy/z^2。对所证不等式作置换，化简整理为:
x^2/(2x^2+yz)+y^2/(2y^2+zx)+z^2/(2z^2+xy)≤1
(1)
<==>
∑x^2*(2y^2+zx)*(2z^2+xy)≤∏(2x^2+yz)
<==>12(xyz)^2+4∑y^3*z^3+xyz∑x^3≤9(xyz)^2+4∑y^3*z^3+2xyz∑x^3
<==>
xyz(x^3+y^3+z^3-3xyz)≥0。(1)式显然成立。证毕。
设x,y,z为正数，根据abc=1，令a=x/y,
b=y/z,
c=z/x。对所证不等式作置换，化简整理为:
y/(2y+x)+z/(2z+y)+x/(2x+z)≤1
(1)
<==>
3xyz≤y^2*z+z^2*x+x^2*y
<==>
3≤y/x+z/y+x/z.显然成立。