Question

请描述齐次线性方程组AX=0的解的结构定理

（即什么条件下只有唯一的零解？什么条件下有无穷多组非零解，此时的非零解由什么组成？）
考虑了下，是否可以这样理解？
AX=0，当R(A)=n时，只有唯一零解；当R(A)<n时，有无穷多非零解

Answer 1

当R(A)=n时，只有零解；当R(A)<n时，有无穷多解。

存在基础解系 a1，...，an-r

AX=0 的全部解为k1a1+...+kn-ran-r

常数项全部为零的线性方程组。如果m<n（行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

扩展资料：

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r，则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。

Answer 2

当R(A)=n时，只有零解；
当R(A)<n时，有无穷多解

此时 存在基础解系 a1,...,an-r
AX=0 的全部解为 k1a1+...+kn-ran-r