Question

线性代数问题两道 【计算过程请详细一些，谢谢】

1.将下列矩阵对角化
A= 2 2 -2
2 5 -4
-2 -4 5

2.设A= 2 0 0
0 a 2
0 2 3
B= 1 0 0
0 2 0
0 0 b
1) 试确定a,b，使得A~B
2) 求一个可逆矩阵U，使得U^-1AU=B
如题，求计算过程稍详细一些，谢谢。

Answer 1

1. 解: |A-λE|=
2-λ 2 -2
2 5-λ -4
-2 -4 5-λ

r3+r2 (消0的同时, 还能提出公因子, 这是最好的结果)
2-λ 2 -2
2 5-λ -4
0 1-λ 1-λ

c2-c3
2-λ 4 -2
2 9-λ -4
0 0 1-λ
= (1-λ)[(2-λ)(9-λ)-8]
= (1-λ)(λ^2-11λ+10)
= (10-λ)(1-λ)^2.

A的特征值为: λ1=10,λ2=λ3=1.

(A-10E)X=0 的基础解系为 a1=(1,2,-2)'
(A-E)X=0 的基础解系为 a2=(2,-1,0)',a3=(2,0,1)

令P=(a1,a2,a3). 则P是可逆矩阵,且 P^-1AP=diag(10,1,1).

2. 解: 由于A,B相似, 所以它们的行列式相同,迹相同.
|A|=6a-8, |B|=2b,
tr(A)=5+a, tr(B)=3+b.
所以 6a-8 = 2b, 5+a = 3+b.
解得 a=3, b=5.

所以, A =
2 0 0
0 3 2
0 2 3
且 A 的特征值为 1,2,5.

(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'.
(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'.
(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'.

令 U = (a1,a2,a3), 则 U 是可逆矩阵, 且
U^-1AU = diag(1,2,5).

Answer 2

1、就是用一般的行变换就可以化了
2 0 0
0 3 0
0 0 5/3
2（1）
A、B的特征值应该相等
a=6
b=7
(2)你把A的特征向量求出来，就是U了。。。

Answer 3

双击可看大图，要写的东西太多，不一定清晰。