Question

利用被积函数及积分区域的对称性确定下列的积分值 ∫∫x^2ydσ其中D是矩形0<=x<=1，-1<=y<=1

Answer 1

∫∫D x^2ydσ=∫[0,1]x²dx∫[0,1]ydy+∫[0,1]x²dx∫[-1,0]ydy①
被积函数关于y是奇函数：∫[0,1]x²dx∫[-1,0]ydy=－∫[0,1]x²dx∫[0,1]ydy
代入① ∫∫Dx^2ydσ=0