Question

已知函数 f(x)= x 2 +2x+a x ，x∈[1，+∞) ．（1）当 a= 1 2 时，判断并证明函

已知函数 f(x)= x 2 +2x+a x ，x∈[1，+∞) ．（1）当 a= 1 2 时，判断并证明函数f（x）在[1，+∞）上的单调性；（2）如果对任意x∈[1，+∞），有f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当 a= 1 2 时， f(x)=x+ 1 2x +2， f / (x)=1- 1 2x 2 当x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0，从而函数f（x）在[1，+∞）上的单调增； （2） f(x)= x 2 +2x+a x ＞0，x∈[1，+∞) ，则x 2 +2x+a＞0，即（x+1） 2 +a-1＞0（y=（x+1） 2 +a-1是增函数，所以取1时，有最小值）所以4＞1-a，解得a＞-3．