Question

如图：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．（1）求证：∠E= 1 2

如图：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．（1）求证：∠E= 1 2 ∠A．（2）若BE、CE是△ABC两外角平分线且交于点E，则∠E与∠A又有什么关系？

Answer 1

（1）证明：∵∠ACD=∠A+∠ABC， ∴∠2= 1 2 （∠A+∠ABC）． 又∵∠4=∠E+∠2， ∴∠E+∠2= 1 2 （∠A+∠ABC）． ∵BE平分∠ABC， ∴∠2= 1 2 ∠ABC， ∴ 1 2 ∠ABC+∠E= 1 2 （∠A+∠ABC）， ∴∠E= 1 2 ∠A； （2）如图2所示， ∵BE、CE是两外角的平分线， ∴∠2= 1 2 ∠CBD，∠4= 1 2 ∠BCF， 而∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC， ∴∠2= 1 2 （∠A+∠ACB），∠4= 1 2 （∠A+∠ABC）． ∵∠E+∠2+∠4=180°， ∴∠E+ 1 2 （∠A+∠ACB）+ 1 2 （∠A+∠ABC）=180°，即∠E+ 1 2 ∠A+ 1 2 （∠A+∠ACB+∠ABC）=180°． ∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°， ∴∠E+ 1 2 ∠A=90°．

Answer 2

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【题目】来源: 作业帮

如图所示，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E. 试找出∠A与∠E的关系。

【考点】
三角形的外角性质
【解析】

根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，然后整理即可得到∠A=2∠E．
【解答】

∠A=2∠E.

理由：∵∠ACD是△ABC的外角，

∴∠ACD=∠ABC+∠A，

∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，

∴∠ACD=2∠ECD，∠ABC=2∠EBC，

∴2∠ECD=2∠EBC+∠A，

∵∠ECD是△EBC的外角，

∴∠ECD=∠EBC+∠E，

∴2(∠EBC+∠E)=2∠EBC+∠A，

∴2∠EBC+2∠E=2∠EBC+∠A，

∴∠A=2∠E.