Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB，(1)求证：AB⊥平面P

如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB，(1)求证：AB⊥平面PCB；(2)求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

(1)证明：∵PC⊥平面ABC，AB 平面ABC， ∴PC⊥AB， ∵CD⊥平面PAB，AB 平面PAB， ∴CD⊥AB， 又PC∩CD=C， ∴AB⊥平面PCB。
(2)解：如图，取AP的中点E，连接CE、DE， ∵PC=AC=2， ∴CE⊥PA， ， ∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA， ∴∠CED为二面角C-PA-B的平面角， 由(1)AB⊥平面PCB， 又∵AB=BC，可求得 ， 在Rt△PCB中， ， ， 在Rt△CDE中， ， ∴二面角C-PA-B的余弦值为 。