Question

已知数列{an}满足a1=p，a2=p+1，an+2-2an+1+an=n-20，其中p是给定的实数，n是正整数，若an的值最小，则n=

已知数列{an}满足a1=p，a2=p+1，an+2-2an+1+an=n-20，其中p是给定的实数，n是正整数，若an的值最小，则n=______．

Answer 1

∵a_n+2-2a_n+1+a_n=n-20，
∴（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=n-20
设b_n=a_n+1-a_n，于是：b_n+1-b_n=n-20，b₁=a₂-a₁=1
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+…（b_n-b_n-1）=1+（1-20）+…+[（n-1）-20]=1+

(n?1)n

2

-20（n-1）=

n2

2

?

41n

2

+21
a_n的值最小时，a_n+1-a_n≥0且a_n-a_n-1≤0，即b_n≥0且b_n-1≤0，
∴

n2 2 ? 41n 2 +21≥0 (n?1)2 2 ? 41(n?1) 2 +21≤0

解得：n=40
故答案为：40