Question

已知函数f（x）=x+ax（a＞0）．（1）当a=1，求f（x）在（2，2+△x）上的平均变化率；（2）当a=4，求其斜

已知函数f（x）=x+ax（a＞0）．（1）当a=1，求f（x）在（2，2+△x）上的平均变化率；（2）当a=4，求其斜率为0的切线方程；（3）求证：“对勾函数”图象上的各点处切线的斜率小于1．

Answer 1

（1）当a=1，f（x）=x+

a

x

=x+

1

x

，
f（x）在（2，2+△x）上的平均变化率

△y

△x

=

f(2+△x)?f(2)

△x

=

△x+ 1 2+△x ? 1 2

△x

=1+

2?2?△x 2(2+△x)

△x

=1-

1

2(2+△x)

；
（2）当a=4，f（x）=x+

a

x

=x+

4

x

，
则f′（x）=1-

4

x2

，
由f′（x）=1-

4

x2

=0，解得x=2或x=-2，
当x=2时，f（2）=2+

4

2

＝4，即切点坐标为（2，4），
当x=-2时，f（-2）=-2+

4

?2

=-4，即切点坐标为（-2，-4），
则其斜率为0的切线方程为y=4或y=-4；
（3）若f（x）=x+

a

x

（a＞0）．
则f′（x）=1-

a

x2

，
∵a＞0，∴f′（x）=1-

a

x2

＜1，
即“对勾函数”图象上的各点处切线的斜率小于1．