Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，点E是PC的中点，F是AB

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，点E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

证明：（1）取PD的中点为M，连接ME，MF，
∵E是PC的中点，
∴ME是△PCD的中位线．
∴ME∥CD，ME=

1

2

CD．
又∵F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴ME∥FB，且ME=FB．
∴四边形MEBF是平行四边形，
∴BE∥MF．
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
解：（2）由（1）得BE∥MF，
∴直线BE与平面PAD所成角就是直线MF与平面PAD所成角．
过F做FH⊥AD，垂足为H，连MH
∵PA⊥平面ABCD
∴面PAD⊥平面ABCD
又∵面PAD∩平面ABCD=AD，FH⊥AD
∴FH⊥面PAD
∴∠FMH是直线MF与平面PAD所成的线面角
又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，F是AB的中点
∴DF=

3

，FH=

3

2

又∵PH=

2

，PD=

5

∴PH⊥DF
∴MH=

5

2

，sin∠FMH=

FH

FM

=

15

5

．
∴直线BE与平面PAD所成的线面角的正弦值为

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