Question

△abc中,已知a=π/4,b²-a²=c²/2,(1)求tanc

高中数学问题
在ΔABC中.内角A、B、C所对的边分别为a,b,c.已知A=π/4,b²-a²=1/2c².
（1）求tanc的值（2）若ΔABC的面积为7,求b的值

Answer 1

（1）
已知A=π/4,b²-a²=1/2c²，则根据正弦定理有：
sin²B - sin²A = 1/2sin²C，即
2sin²B - 1 = sin²C，降次有：
1 - cos2B - 1 = (1 - cos2C)/2，即：
cos2C - 2cos2B = 1，又因A=π/4，B + C = 3π/4，则：
cos2C - 2cos2(3π/4 - C) = 1，
cos2C - 2cos(3π/2 - 2C) = 1，化简得
2sin2C = 1 - cos2C，即
4sinCcosC = 2sin²C，即
tanC = 2
（2）
b²-a²=1/2c² 有 a² = b² - 1/2c²
再根据余弦定理：
b² + c² - 2bccosA = a² = b² - 1/2c²，则
3/2c² = √2bc，则 c = 2√2/3b，代入式子S=1/2bcsinA=7有
b = √21