Question

已知函数f（x）=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1．（1）求函数f（...

已知函数f（x）=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1． （1）求函数f（x）的极大值和极小值； （2）求函数f（x）在闭区间[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）函数f（x）=x3-3ax2+2bx的导数为f′（x）=3x2-6ax+2b
∵函数f（x）=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1，∴f′（1）=0，f（1）=-1
即3-6a+2b=0，1-3a+2b=-1，解得a=
1
3
，b=-
1
2
∴f（x）=x3-x2-x，f′（x）=3x2-2x-1
令f′（x）=0，即3x2-2x-1=0，解得，x=-
1
3
，或x=1
又∵当x＞1时，f′（x）＞老敬拆0，当-
1
3
＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＜-
1
3
时，f′（x）＞0，
∴函数在稿悄x=-
1
3
时有极大值为f（-
1
3
）=
5
27
函数在x=1时有极小值为f（1）=-1
（2）函数f（x）在闭区间[-2，2]上的f'（x）、f（x）侍枣的变化情况如下表：
　x
-2
（-2，-
1
3
）
-
1
3
（-
1
3
，1）
　1
　（1，2）
　2
　f′（x）
　
+
　0
-
　0
+
　
　f（x）
-10
　增
　
5
27
　减
-1
　增
　2
∴当x=2时函数有最大值为2，当x=-2时，函数有最小值为-10