Question

在正方形ABCD中，M是边BC中点，E是边AB上的一个动点,MF⊥ME,MF交射线CD于点F，AB=4，BE=x，CF=y

（1）求y关于x的解析式及定义域
（2）当点F在边CD上时，四边形AEFD的周长是否随点E的运动而发生变化？请说明理由
（3）当DF=1时，求点A到直线EF的距离。

Answer 1

（1）⊿MCF∽⊿EBM  ∴y/2＝2/x   y＝4/x﹙0＜x≤4﹚

 ⑵    容易计算EM/FM＝x/2＝EB/MB∴EF＝EB+FC.﹙过M作EF的垂线即可看出。﹚

    ∴AEFD的周长＝4×3＝12。  与E点的位置无关。

⑶   DF=1  y＝3,  tan∠MEB＝3/2    x＝4/3   AE＝8/3    

AH＝AEsih2∠MEB＝﹙8/3﹚×2﹙2/√13﹚×﹙3/√13﹚＝32/13

Answer 2

（1）MF⊥ME==>∠EMF=90°==>∠EMB=∠MFC
==>△EMB和△MFC相似
==>BE/MC=BM/FC
==>xy=4
（2）EF²=EM²+MF²=BE²+BM²+MC²+FC²=X²+Y²+2²+2²=(X+Y)²
==> EF=X+Y
四边形AEFD的周长 = AE+EF+FD+DA=(4-X)+(X+Y)+(4-Y)+4=12
（3）DF=1
==>Y=3
==>X=4/3
==>EF=3+4/3=13/3
△AEE的面积 = 1/2AE*AD = 1/2*(A到直线EF的距离)*EF
==>A到直线EF的距离=AE*AD/EF=(4-4/3)*4/(13/3)=32/13

Answer 3

解答：如图，
（1）⊿MCF∽⊿EBM ∴y/2＝2/x y＝4/x﹙0＜x≤4﹚
⑵ 容易计算EM/FM＝x/2＝EB/MB∴EF＝EB+FC.﹙过M作EF的垂线即可看出。﹚
∴AEFD的周长＝4×3＝12。 与E点的位置无关。
⑶ DF=1 y＝3, tan∠MEB＝3/2 x＝4/3 AE＝8/3
AH＝AEsih2∠MEB＝﹙8/3﹚×2﹙2/√13﹚×﹙3/√13﹚＝32/13

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