Question

如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E、F，使DE=AD，DF=BD.连接BF分别交CD、CE与H,G

求证 根号下2倍的DG=BH

Answer 1

在△BDF中，DF=BD，所以△BDF是等腰三角形，∠BDF=∠BDC+CDF=45°+90°=135°
所以∠DBF=∠DFB=(180°-135°)/2=22.5°
所以∠FBC=∠DBC-∠DBF=45°-22.5°=22.5°。
由于∠DCE=∠BDC=45°，所以CE//BD
所以∠BGC=∠DBG=∠GBC=22.5°
所以△BCG是等腰三角形，所以CG=BC，
所以CG=BC=CD，所以△CDG是等腰三角形，所以∠CDG=(180°-∠DCG)/2
=(180°-45°)/2=67.5°
∠DHG=∠BDC+∠DBH=45°+22.5°=67.5°
所以△GDH是等腰三角形，所以DG=HG
所以BH/DG=BH/HG
由以上可知，△BDH和△GCH相似，所以
BH/HG=BD/CG，所以BH/HG=BD/CG=BD/BC=√2，所以BH/DG=BH/HG=√2
即BH=√2DG