Question

12. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：

（1）OI是△IBD的外接圆的切线；
（2）AB+AD = 2BD.

Answer 1

证明：（1）∵点I为△ABD的内心，

∴∠BAC=∠DAC, ∠ABI=∠DBI,

∵∠CBD=∠CAD,

∴∠CBI=∠CBD+∠DBI

=∠BAC+∠ABI,

∵∠BIC=∠BAC+∠ABI,

∴∠CBI=∠BIC,

∴CB=CI,

同理可证：CI=CD,

∴点C为△BID的外心，

∵点I为AC的中点，

∴OI⊥AC,

∴OI切△BID的外接圆.

（2）由（1）可知：BC= CI=CD,

∴∠BDC=∠DAC,

∴△ADC∽△DEC,

∴AC/CD=AD/DE,

∵AC=2CI,

∴AC=2CD,

∴AD=2DE,

同理可证：AB=2BE,

∴AB+AD=2BE +2DE

=2BD.

Answer 2

解：（1）∵∠CID=∠IAD+∠IDA，∠CDI=∠CDB+∠BDI=∠BAC+∠IDA=∠IAD+∠IDA
∴∠CID=∠CDI，
∴CI=CD．
同理，CI=CB．
故点C是△IBD的外心．
连接OA，OC，
∵I是AC的中点，且OA=OC，
∴OI⊥AC，即OI⊥CI．
∴OI是△IBD外接圆的切线．
（2）由（1）可得：
∵AC的中点I是△ABD的内心，
∴∠BAC=∠CAD
∴∠BDC=∠DAC=∠BAC，
又∵∠ACD=∠DCF，
∴△ADC∽△DFC，
∴
AC
CD
=
AD
DF
，
∵AC=2CI
∴AC=2CD
∴AD=2DF
同理可得：AB=2BF
∴AB+AD=2BF+2DF=2BD．