Question

如图：三角形ABC内接于圆O，∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E，延长AE交外接圆O 于点D，连接BD，D

如图：三角形ABC内接于圆O，∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E，延长AE交外接圆O 于点D，连接BD，DC，且∠BCA=60°（1）求∠BED的大小；（2）证明：△BED为等边三角形；（3）若∠ADC=30°，圆O的半径为r，求等边三角形BED的边长．

Answer 1

（1）∵∠BCA=60°， ∴∠BAC+∠ABC=180°-∠BCA=180°-60°=120°， ∵∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E， ∴∠ABE+∠BAE= 1 2 （∠BAC+∠ABC）= 1 2 ×120°=60°， ∴∠BED=∠ABE+∠BAE=60°； （2）证明：∵∠BCA=60°， ∴∠ADB=∠BCA=60°， ∴∠DBE=180°-∠BED-∠ADB=180°-60°-60°=60°， ∴△BED为等边三角形； （3）∵∠ADC=30°，∠ADB=60°， ∴∠BDC=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°， ∴BC是⊙O的直径， ∵∠BCA=60°， ∴∠ABC=90°-60°=30°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=15°， ∴∠DBC=∠DBE-∠CBE=60°-15°=45°， ∴BD=BC?cos45°=2r? 2 2 = 2 r． 即等边△BED的边长为 2 r．