Question

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1， 4 2 3 ），N（- 3

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1， 4 2 3 ），N（- 3 2 2 ， 2 ）两点．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．

Answer 1

（1）设椭圆方程为mx 2 +ny 2 =1（m＞0，n＞0，且m≠n） ∵椭圆过M，N两点 ∴ m+ 32 9 n=1 9 2 m+2n=1 ? m= 1 9 n= 1 4 ，即椭圆方程为 x 2 9 + y 2 4 =1． （2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由 x 2 9 + y 2 4 =1，得y 2 =4（1- x 2 9 ） ∴|AP| 2 =（x-a） 2 +y 2 =（x-a） 2 +4（1- x 2 9 ）= 5 9 （x- 9 5 a） 2 +4- 4 5 a 2 （|x|≤3）， 当| 9a 5 |≤3即0＜a≤ 5 3 时，|AP| 2 的最小值为4- 4 5 a 2 ∴4- 4 5 a 2 =1?a=± 15 2 ?（0， 5 3 ] ∴ 9 5 a＞3即 5 3 ＜a＜3，此时当x=3时，|AP| 2 的最小值为（3-a） 2 ∴（3-a） 2 =1，即a=2，此时点P的坐标是（3，0） 故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点的坐标是（3，0）．