Question

已知点F 1 ，F 2 分别为椭圆C： （a>b>0）的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F 2 的距离

已知点F 1 ，F 2 分别为椭圆C： （a>b>0）的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F 2 的距离的最大值为 +1，且△PF 1 F 2 的最大面积为1。 （1）求椭圆C的方程。 （2）点M的坐标为 ，过点F 2 且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点。对于任意的k∈R， 是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。

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Answer 1

解：（1）由题意可知：a+c= +1 ， ×2c×b=1， 有∵a 2 =b 2 +c 2 ， ∴a 2 =2，b 2 =1，c 2 =1， ∴所求椭圆的方程为： ； （2）设直线l的方程为：y=k（x-1）， A（x 1 ，y 1 ） ，B（x 2 ，y 2 ），M（ ，0） 联立 消去y得： 则 ∵ ， ∴ ∴对任意x∈R，有 为定值。