Question

（2014?宜春模拟）如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=3BC=6，BF=CF=AE=DE=2，EF=4，EF∥AB，G为FC的中

（2014?宜春模拟）如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=3BC=6，BF=CF=AE=DE=2，EF=4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM=2．（Ⅰ）证明：AF∥面BDG；（Ⅱ）证明：面BGM⊥面BFC；（Ⅲ）求三棱锥F-BMC的体积V．

Answer 1

解：（Ⅰ）连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG
∵点G为CF中点，
∴OG为△AFC的中位线
∴OG∥AF，
∵AF?面BDG，OG?面BDG，
∴AF∥面BDG，
（Ⅱ）连接FM，
∵BF=CF=BC=2，G为CF的中点，
∴BG⊥CF∵CM=2，
∴DM=4∵EF∥AB，ABCD为矩形，
∴EF∥DM，
又∵EF=4，
∴EFMD为平行四边形
∴FM=ED=2，
∴△FCM为正三角形，
∴MG⊥CF，
∵MG∩BG=G，
∴CF⊥面BGM，
∵CF?面BFC，
∴面BGM⊥面BFC．
（Ⅲ）VF?BMC＝VF?BMG+VC?BMG＝

1

3

×SBMG×FC＝

1

3

×SBMG×2
∵GM＝BG＝

3

，BM＝2

2

∴SBMG＝

1

2

×2

2

×1＝

2

∴VF?BMC＝

2

3

×SBMC＝

2 2

3

，
∴三棱锥F-BMC的体积V=

2 2

3

．