Question

设z是虚数，满足ω＝z+1z是实数，且-1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u＝1?z1+z．

设z是虚数，满足ω＝z+1z是实数，且-1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u＝1?z1+z．求证：u是纯虚数；（3）求ω-u2的最小值．

Answer 1

（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，b∈R，b≠0）则ω＝z+

1

z

＝a+bi+

1

a+bi

＝a+bi+

a?bi

a2+b2

＝a+

a

a2+b2

+(b?

b

a2+b2

)i
∵ω∈R∴b?

b

a2+b2

＝0且b≠0得a²+b²=1即|z|=1
此时，ω=2a，∵-1＜ω＜2∴?

1

2

＜a＜1即z的实部的取值范围为(?

1

2

，1)．…（4分）
（2）u＝

1?z

1+z

＝

1?(a+bi)

1+(a+bi)

＝

[(1?a)?bi][(1+a)?bi]

(1+a)2+b2

．
∵a²+b²=1
∴u=?

b

1+a

i又b≠0，?

1

2

＜a＜1故u是纯虚数．…（8分）
（3）ω?u2＝2a+

b2

(1+a)2

＝2a+

1?a2

(1+a)2

=2a+

1?a

1+a

＝2[(a+1)+

1

a+1

]?3
由a∈(?

1

2

，1)知(a+1)+

1

a+1

≥2，
故当且仅当a+1＝

1

a+1

，a＝0时ω-u²的最小值为1．…（14分）．