Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°AB=AD=2BC，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证

如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°AB=AD=2BC，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明AD⊥PC（Ⅱ）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

解答：证明：（Ⅰ）取AD的中点O，连接PO，OC，

∵△PAD为正三角形，
∴PO⊥AD…（2分），
又∵在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=2BC，
∴BC∥AO，且BC=AO
∴四边形ABCO为矩形，
∴CO⊥AD…（4分），
又∵PO∩CO=O，PO，CO?平面POC，
∴AD⊥平面POC，
又∵PC?平面POC，
∴AD⊥PC…（6分）
解：（Ⅱ）（法一）：由（Ⅰ）知PO⊥AD，且平面PAD⊥平面ABCD
∴PO⊥平面ABCD，所以分别以OC，OA，OP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的直角坐标系，并设BC=1，则AB=AD=2，OP＝

3

，

∴O（0，0，0），C（2，0，0），A（0，1，0），D（0，-1，0），P(0，0，

3

)
∴

OP

＝(0，0，

3

)，

OD

＝(0，?1，0)，

CP

＝(?2，0，

3

)，

CD

＝(?2，?1，0)…（8分）
设平面APD，平面PDC的法向量分别为

n1

＝(x1，y1，z1)，

n2

＝(x2，y2，z2)
则

n1 ? OP ＝0 n1 ? OD ＝0

且

n2 ? CP ＝0 n2 ? CD ＝0

∴