Question

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1（I）求曲线在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若xf′（x）≤x 2 +ax+1

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1（I）求曲线在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若xf′（x）≤x 2 +ax+1，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：（x-1）f（x）≥0．

Answer 1

（I） f′(x)= x+1 x +lnx-1= 1 x +lnx 所以f′（1）=1，所以切线方程雀谨y=x-1 （Ⅱ）xf′（x）≤x 2 +ax+1?1+xlnx≤x 2 +ax+1， 即：xlnx≤x 2 +ax，x＞0，则有lnx≤x+a， 即要使a≥lnx-x成立顷仔基． 令g（x）=lnx-x，那么 g′(X)= 1 x -1=0 ?x=1， 可知当0＜x＜1时单调增，当x＞1时单调减． 故g（x）=lnx-x 在x=1 处取最大值为g max =-1， 那么要使得a≥lnx-x 成立，则有a≥-1． （Ⅲ）由（Ⅱ）可得：lnx-x≤-1，即lnx-x+1≤0 当0＜x＜1 时，f（x）=xlnx+lnx-x+1＜0， 当x≥1时，戚清f（x）=xlnx+lnx-x+1 =lnx+（xlnx-x+1） =lnx+x（lnx+ 1 x -1） =lnx-x（ln 1 x - 1 x +1） ≥0． ∴f（x）=xlnx+lnx-x+1=lnx+（xlnx-x+1）≥0 综上所述，（x-1）f（x）≥0