Question

已知函数f（x）=3x+a3x?1．（1）求f（x）的定义域；（2）当a为何值时，f（x）为奇函数；（3）讨论（2）中

已知函数f（x）=3x+a3x?1．（1）求f（x）的定义域；（2）当a为何值时，f（x）为奇函数；（3）讨论（2）中函数的单调性．

Answer 1

（1）要使函数f（x）有意义，则3^x-1≠0，即x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}；
（2）若f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），即

3?x+a

3?x?1

＝

1+a?3x

1?3x

=-

3x+a

3x?1

．
即1+a?3^x=3^x+a，解得a=1；
（3）∵f（x）=

3x+a

3x?1

=

3x?1+a+1

3x?1

=1+

a+1

3x?1

=1+

2

3x?1

，
若x＞0，则函数y=3^x-1＞0，且函数单调递增，

2

3x?1

单调递减，则函数f（x）=1+

2

3x?1

单调递减，
若x＜0，则函数y=3^x-1＜0，且函数单调递增，

2

3x?1

单调递减，则函数f（x）=1+

2

3x?1

单调递减，
综上函数的单调递减区间为（-∞，0），（0，+∞）．