Question

设函数f（x）=|x-a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4-|x-1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，1m+1

设函数f（x）=|x-a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4-|x-1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，1m+12n=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．

Answer 1

（I）当a=2时，不等式f（x）≥4-|x-1|即为|x-2|≥4-|x-1|，
①当x≤1时，原不等式化为2-x≥4+（x-1），得x≤?

1

2

，
故x≤?

1

2

；
②当1＜x＜2时，原不等式化为2-x≥4-（x-1），得2≥5，
故1＜x＜2不是原不等式的解；
③当x≥2时，原不等式化为x-2≥4-（x-1），得x≥

7

2

，
故x≥

7

2

．
综合①、②、③知，原不等式的解集为(?∞，?

1

2

]∪[

7

2

，+∞)．
（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x-a|≤1，从而-1+a≤x≤1+a，
∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，
∴

?1+a＝0 1+a＝2

得a=1，∴

1

m

+

1

2n

=a=1．
又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（

1

m

+

1

2n

）=2+（

2n

m

+

m

2n

）≥2+2

2n m ? m 2n

＝4，
当且仅当

2n

m

＝

m

2n

即m=2n时，等号成立，此时，联立

1

m

+

1

2n

=1，得

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