Question

（2013?莆田）如图，?ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．（1）求证

（2013?莆田）如图，?ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．（1）求证：△AED≌△DCA；（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴四边形AECD是梯形，
∵AB=AE，
∴AE=CD，
∴四边形AECD是等腰梯形，
∴AC=DE，
在△AED和△DCA中，

AE=DC DE=AC AD=DA

，
∴△AED≌△DCA（SSS）；

（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADE，
∵四边形AECD是等腰梯形，
∴∠DAE=∠ADC=2∠ADE，
∵DE与⊙A相切于点E，
∴AE⊥DE，
即∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAE=60°，
∴∠DCE=∠AEC=180°-∠DAE=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠DCE=120°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=60°，
∴S_阴影=

60

360

×π×2²=

2

3

π．