Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，-2），点B在x轴上．已知某二次函数的图象

如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，-2），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点E在抛物线上，且S△EOC=2S△AOC，求点E的坐标；（3）点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于F．求△PBC面积的最大值．

Answer 1

（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），
由抛物线的对称性知B点坐标为（3，0），
依题意得：

a?b+c＝0 9a+3b+c＝0 c＝?2

，
解得：

a＝ 2 3 b＝? 4 3 c＝?2

故所求二次函数的解析式为y=

2

3

x²-

4

3

x-2．

（2）∵S_△AOC=

1

2

?AO?CO=1
∴S_△EOC=2S_△AOC=2=

1

2

?CO?h
∴h=2，
∴E的横坐标为±2，
将其代入二次函数解析式，
当x=2时，y=

2

3

?2²-

4

3

?2-2=-2．
当x=-2时，y=

2

3

?（-2）²-

4

3

?（-2）-2=

10

3

．
可得E点坐标为（2，-2）、（-2，

10

3

）．

（3）设直线BC的解析式为y=k₁x+b₁（k≠0，k₁、b₁是常数），P点的横坐标为m，
即P点的纵坐标为：

2

3

m²-

4

3

m-2．
依题意，得