Question

已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P、Q两点，0为坐标原点，问是否存在实数m，使OP⊥OQ．若存在，求

已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P、Q两点，0为坐标原点，问是否存在实数m，使OP⊥OQ．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

设点P（x_p，y_p），Q（x_Q，y_Q）
当OP⊥OQ时，K_op?K_OQ=-1?

OP

?

OQ

=-1?x_px_Q+y_py_Q=0（1）
又直线与圆相交于P、Q?

x+2y?3＝0 x2+y2+x?6y+m＝0

的根是P、Q坐标
?是方程5x²+10x+（4m-27）=0的两根
有：x_p+x_Q=-2，x_p?x_Q=

4m?27

5

（2）
又P、Q在直线x+2y-3=0上y_p?y_Q=

1

2

（3-x_p）?（3-x_Q）（3）

1

4

=[9-3（x_p+x_Q）+x_p?x_Q]
由（1）（2）（3）得：m=3
且检验△＞O成立
故存在m=3，使OP⊥OQ