Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=k?x?1x+1（1）求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；（2）当x＞1时，函数f

已知函数f（x）=lnx，g（x）=k?x?1x+1（1）求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；（2）当x＞1时，函数f（x）＞g（x）恒成立，求k的取值范围；（3）证明：2ni＝112i+1＜ln(n+1)，(n∈N+）．

Answer 1

（1）函数F（x）的定义域是（0，+∞）．
∵F（x）=lnx-k

x?1

x+1

，∴F′(x)＝

1

x

?k

2

(x+1)2

=

x2+2(1?k)x+1

x(x+1)2

，①
方程x²+2（1-k）x+1=0的判别式△=4（1-k）²-4=4（k²-2k），
当△≤0时，即0≤k≤2时，在x∈（0，+∞）上，恒有F′（x）≥0成立，
∴F（x）在（0，+∞）上单调递增．
当△＞0时，得k＞2或k＜0．
而当k＜0时，由①可看出F′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增；
当k＞2时，方程x²+2（1-k）x+1=0的两根分别是：x1＝k?1?

k2?2k

，x2＝k?1+

k2?2k

．
可得：0＜x1＝

1

k?1+ k2?2k

＜1＜x2，
于是可判断出：在（0，x₁）上，F′（x）＞0；在（x₁，x₂）上，F′（x）＜0；在（x₂，+∞）上，F′（x）＞0．
所以，F（x）在(0，k?1?

k2?2k

)上单调递增，在(k?1?

k2?2k

，k?1+

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