如图，在四棱锥 P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，AD=1，E 是 PB 的中点．（Ⅰ）若F
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，AD=1，E是PB的中点．（Ⅰ）若F是BC上任一点，求证：AE⊥PF；（Ⅱ）设AC...
如图，在四棱锥 P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，AD=1，E 是 PB 的中点．（Ⅰ）若F是BC上任一点，求证：AE⊥PF；（Ⅱ）设 AC、BD交于点O，求直线BO与平面AEC所成角的正弦值．
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解答：
解：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为2和1的矩形，
侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2
所以BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．
又在△PAB中，∵PA=PB，E是PB的中点，
∴AE⊥PB．又BC∩PB=B，
∴AE⊥平面PBC，又PF?面PBC．
∴AE⊥PF．
（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P（0，0，2），B（2，0，0），E（1，0，1），C（2，1，0），0（1，
，0）．
∴
＝(1，0，1)
＝(2，1，0)．
设
＝(x，y，z)，是平面EAC的一个法向量，则由
得
即
取x=1得
＝(1，?2，?1)．
而
＝(1，?
，0)，∴cos＜
，
＞＝
＝
．
设直线BO与平面AEC所成角为α，则sinα=
解：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为2和1的矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2
所以BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．
又在△PAB中，∵PA=PB，E是PB的中点，
∴AE⊥PB．又BC∩PB=B，
∴AE⊥平面PBC，又PF?面PBC．
∴AE⊥PF．
（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P（0，0，2），B（2，0，0），E（1，0，1），C（2，1，0），0（1，
| 1 |
| 2 |
∴
| AE |
| AC |
设
| n |
|
得
|
|
取x=1得
| n |
而
| OB |
| 1 |
| 2 |
| n |
| OB |
| ||||
|
|
| |||
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设直线BO与平面AEC所成角为α，则sinα=
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