Question

如图（1），两块等腰直角三角板ABC和DEF，∠ABC=∠DEF=90°，点C与EF 在同一条直线l上，将三角板ABC绕点C

如图（1），两块等腰直角三角板ABC和DEF，∠ABC=∠DEF=90°，点C与EF 在同一条直线l上，将三角板ABC绕点C逆时针旋转α角（0°＜α≤90°）得到△A′B′C．设EF=2，BC=1，CE=x．（1）如图（2），当α=90°，且点C与点F重合时，连结EB′，将直线EB′绕点E逆时针旋转45°，交直线A′D于点M，请补全图形，并求证：A′M=DM．（2）如图（3），当0°＜α＜90°，且点C与点F不重合时，连结EB′，将直线EB′绕点E逆时针旋转45°，交直线A′D于点M，求A′MDM的值（用含x的代数式表示）．

Answer 1

解答：解：（1）补全图形如右图（1）：
如图（2），连结AE，
∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，
∠ABC=∠DEF=90°，AB=1，DE=2，
∴BC=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=45°．
∴A′C＝AC＝

2

，DF＝2

2

，∠EFB'=90°．
∴A′D＝DF?A′C＝

2

，
∴点A'为DF的中点．
∴EA'⊥DF，EA'平分∠DEF．
∴∠MA'E=90°，∠A'EF=45°，A′E＝

2

．
∵∠MEB'=∠A'EF=45°，
∴∠MEA'=∠B'EF，
∴Rt△MA'E∽Rt△B'FE，
∴

A′M

B′F

=

A′E

EF

，
∴A′M＝

2

2

，
∴DM＝A′D?A′M＝

2

?

2

2

＝

2

2

，
∴A'M=DM．                                   

（2）如图（3），过点B'作B'G⊥B'E交直线EM于点G，连结A'G．
∵∠EB'G=90°，∠B'EM=45°，
∴∠B'GE=45°．
∴B'E=B'G．
∵∠A'B'C=∠EB'G=90°，
∴∠A'B'G=∠CB'E．
在△A'B'G和△CB'E中

B′E＝B′G ∠A′B′G＝∠CB′E B′A＝B′C

．
∴△A'B'G≌△CB'E（SAS）．          
∴A'G=CE=x，∠A'GB'=∠CEB'．
∵∠A'GB'+∠A'GM=∠CEB'+∠DEM=45°，
∴∠A'GM=∠DEM，
∴A'G∥DE．
∴

A′M

DM

＝

A′G

DE

＝

x

2

．