Question

设z=f（exsiny，x2+y2），其中f具有二阶连续偏导数，求?2z?x?y

设z=f（exsiny，x2+y2），其中f具有二阶连续偏导数，求?2z?x?y．

Answer 1

∵z=f（e^xsiny，x²+y²），
∴

?z

?x

＝f′1?[exsiny]x+f′2?[x2+y2]x=e^xsinyf′₁+2xf′₂，
进一步得：

?2z

?x?y

＝

?

?y

(

?z

?x

)=[e^xsinyf'₁]_y+[2xf′₂]_y
=ex[cosyf′1+siny?

?f′1

?y

]+2x

?f′2

?y

=excosyf′1+exsiny?[f″11?excosy+f″12?2y]+2x[f″21?excosy+f″22?2y]
=e2xsinycosyf″11+2ex(ysiny+xcosy)f″12+4xyf″22+excosyf′1，