Question

求证:若f(n)=8^(n+2)+9^(2n+1),则73整除f(n)，n属于N

如题，谢谢各位

Answer 1

用数学归纳法
n=1时，f(1)=8^3+9^3=512+729=73*17
假设当n=N时成立，即f(N)=8^(N+2)+9^(2N+1)
则当n=N+1时
f(N+1)=8^(N+1+2)+9^(2N+3)
=8*8^(N+2)+9^2*9^(2N+1)
=8*8^(N+2)+(73+8)*9^(2N+1)
=8*[8^(N+2)+9^(2N+1)]+73*9^(2N+1)
=8*f(N)+73*9^(2N+1)
可见它能被73整除
因此73整除f(n)

Answer 2

f(n)=8^(n+2)+9^(2n+1),
=8^n×64+9^2n×9
＝8^n×64+81^n×9
＝8^n×(73-9)+81^n×9
＝8^n×73-8^n×9+81^n×9
＝8^n×73+9×(81^n-8^n)
此时很明显：
第一部分能整除73。第二部分。绝对可以分解成(81-8)×某个n的多项式。所以也必整除73
得证。

当然如果要严密点。可能需要用数学归纳法。楼主可以自己解一下。

追问

之前我都做出来了，我只想知道81^n-8^n怎么证明可以整除73，麻烦你能不能说的详细点，谢谢

追答

哦。还能用别的方法
当n=1时。81-8＝73
当n=2时，81^2-8^2=(81-8)(81+8)
n=3 一样有公式
n=4 分解成平方乘平方
n=5 分解成平方乘立方
n=n均可以分解成平方乘多项式。平方一定整除73。亦能得证。

另外数学归纳法。我实在不会具体证明了。但是方法应该是能用的。