Question

数学，求大神

Answer 1

约定:AF'表示“向量AF”，FB'表示“向量FB”，...

解：(1)由已知 t/2=1 t=2
所以 抛物线Q方程是 y^2=4x

(2) 由(1)抛物线Q的准线l是x=-1,F(1,0)
设P(-1,m) (m≠0) ,A(y1^2/4,y1),B(y2^2/4,y2)

由AF‘=λFB’ 可得 λ=(0-y1)/(y2-0)=-y1/y2
由AP‘=μPB’ 可得μ=(m-y1)/(y2-m)=-(y1-m)/(y2-m)
λ+μ=(-y1/y2)-(y1-m)/(y2-m)=-[2y1y2-m(y1+y2)]/(y2(y2-m))

直线PF的方程是 mx+2y-m=0
由 mx+2y-m=0 且 y^2=4x 消去x并化简得
my^2+8y-4m=0 (m≠0)
△=16(4+m^2)>0
有 y1+y2=-8/m 且 y1.y2=-4
得λ+μ=-[2*(-4)-m(-8/m)]/(y2(y2-m))=0

所以 λ+μ是定值。

(3)设PF的倾角是θ,R是其上的一个动点
OR’=OF‘+r(cosθ,sinθ)=(1+rcosθ,rsinθ) 即R(1+rcosθ,rsinθ)
M(1+r1cosθ,r1sinθ),N(1+r2cosθ,r2sinθ)
|MN|=...=|r1-r2|

当R在椭圆上时 (1+rcosθ)^2+2(rsinθ)^2-2=0
(1+(sinθ)^2)r^2+(2cosθ)r-1=0
r1、r2是它的两根
△=(2cosθ)^2+4(1+(sinθ)^2)=8>0

|MN|=|r1-r2|=(√△)/(1+(sinθ)^2) (该步是由求根公式得到)
=(2√2)/(1+(sinθ)^2)
而 1≤1+(sinθ)^2≤2

所以 |MN|的取值范围是 √2≤|MN|≤2√2

希望能帮到你！