Question

如图，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于F，且CE=CB。 （1）求证：BC是⊙

如图，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于F，且CE=CB。 （1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA= ，求⊙O的半径。

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Answer 1

(1)见解析；（2）30 °（3） .

试题分析：（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线； （2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数； （3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG= BE=5，又Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，进而求出⊙O的半径． 试题解析： （1）证明：连接OB ∵OB=OA，CE=CB， ∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC 又∵CD⊥OA ∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB="90" ° ∴∠OBA+∠ABC="90" ° ∴OB⊥BC ∴BC是⊙O的切线． （2）连接OF，AF，BF， ∵DA=DO，CD⊥OA， ∴△OAF是等边三角形， ∴∠AOF="60" ° ∴∠ABF= ∠AOF="30" ° （3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB， ∴EG= BE=5 又Rt△ADE∽Rt△CGE ∴sin∠ECG=sin∠A= ， ∴CE= =13 ∴CG= =12， 又CD=15，CE=13， ∴DE=2， 由Rt△ADE∽Rt△CGE得 ∴AD= = ∴⊙O的半径为2AD= ．