Question

如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M, N分别是AB, PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：M

如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M, N分别是AB, PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥DC；

Answer 1

（1）见解析（2）见解析.

试题分析：（1）令E为PD的中点，连接AE，NE，根据三角形中位线定理，及中点的定义，我们易判断MN∥AE，结合线面平行的判定定理，即可得到MN∥平面PAD； （2）根据已知中，四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，我们易结合线面垂直的判定定理，得到DC⊥平面PAD，进而得到DC⊥AE，由（1）中AE∥MN，根据两条平行线与同一条直线的夹角相等，即可得到结论． 试题解析：（1）设PD的中点为E，连AE, NE，则易得四边形AMNE是平行四边形，则 MN∥AE ， ，所以  MN∥平面PAD    （2）∵PA⊥平面ABCD ， CD ，∴PA⊥CD    又AD⊥CD , PA∩DA=A，∴ CD平面PAD ，∵ ∴CD⊥AE  ∵MN∥AE   ∴MN⊥DC