Question

设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对任意非零实数x 1 ，x 2 恒有f（x 1 x 2 ）=f（x 1 ）+f（x 2 ），且对任

设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对任意非零实数x 1 ，x 2 恒有f（x 1 x 2 ）=f（x 1 ）+f（x 2 ），且对任意x＞1，f（x）＜0。 （Ⅰ）求f（-1）及f（1）的值； （Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅲ）求方程 的解。

Answer 1

解：（Ⅰ）对任意非零实数 恒有 ， ∴令 ，代入可得 ， 又令 ，代入并利用 ，可得 。 （Ⅱ）取 ，代入，得 ， 又函数的定义域为 ， ∴函数 是偶函数。 （Ⅲ）函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，证明如下： 任取 且 ，则 ，由题设有 ， ∴ ， ∴ ，即函数f（x）在 上为单调递增函数； 由（Ⅱ）函数f（x）是偶函数， ∴函数f（x）在 上为单调递减函数； ∴ ， 解得： 或x=2， ∴方程 的解集为 。