Question

已知正项数列{an}满足a1=12，且an+1=an1+an．（1）求正项数列{an}的通项公式；（2）求和a11+a22+…+ann

已知正项数列{an}满足a1=12，且an+1=an1+an．（1）求正项数列{an}的通项公式；（2）求和a11+a22+…+ann．

Answer 1

（满分12分）
解：（1）由an+1＝

an

1+an

，
∵a_n+1a_n+a_n+1=a_n，
∴

1

an+1

?

1

an

＝1．
∵a1＝

1

2

，
∴数列{

1

an

}是首项为2，公差为1的等差数列．
∴

1

an

＝2+n?1＝n+1，∴an＝

1

n+1

．
（2）∵

an

n

=

1

n(n+1)

=

1

n

?

1

n+1

，
∴

a1

1

+

a2

2

+…+

an

n

=

1

2×1

+

1

3×2

+…+

1

(n+1)n

=1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

=1?

1

n+1

=

n

n+1

．