Question

数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=1，数列{bn}满足b1=4，bn+1=3bn-2；（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=1，数列{bn}满足b1=4，bn+1=3bn-2；（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}满足cn=anlog3（b2n-1-1），其前n项和为Tn，求Tn．

Answer 1

（1）①当n=1时，a₁+S₁=1∴a₁=

1

2

②当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1）=a_n-1-a_n，
∴a_n=

1

2

a_n-1
∴数列{a_n}是以a₁=

1

2

为首项，公比为

1

2

的等比数列；
∴a_n=

1

2

?（

1

2

）^n-1=（

1

2

）ⁿ
∵b_n+1=3b_n-2
∴b_n+1-1=3（b_n-1）
又∵b₁-1=3∴{b_n-1}是以3为首项，3为公比的等比数列
∴b_n-1=3ⁿ、
∴b_n=3ⁿ+1       
（2）∵c_n=（

1

2

）ⁿ?log₃3^2n-1=（2n-1）?（

1

2

）ⁿ
∴S_n=1×

1

2

+3×（

1

2

）²+5×（

1

2

）³+…+（2n-3）?（

1

2

）^n-1+（2n-1）?（

1

2

）ⁿ
∴

1

2

S_n=1×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+5×（

1

2

）⁴+…+（2n-3）?（

1

2

）ⁿ+（2n-1）?（

1

2

）ⁿ⁺¹
∴（1-

1

2

）S_n=1×

1

2

+2[（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）^n-1+（

1

2

）ⁿ]-（2n-1）?（

1

2

）ⁿ⁺¹
=

3

2

-4×（

1

2

）ⁿ⁺¹-（2n-1）?（

1

2

）ⁿ⁺¹
=

3

2

-（2n+3）（

1

2

）ⁿ⁺¹
∴S_n=3-

2n+3

2n